출처: [백준] 9471번 피사노 주기

문제

1960년, IBM의 직원 Donald Wall은 피보나치 수열을 m으로 나눈 나머지가 주기를 이룬다는 것을 증명했다.

예를 들어, 피보나치 수열의 처음 10개를 11로 나눈 예는 다음과 같다.

나머지를 이용해서 만든 수열은 주기가 나타날 수 있다. k(m)을 반복하는 부분 수열의 길이라고 했을 때, k(11) = 10임을 알 수 있다.

Wall은 아래와 같은 여러 가지 성질도 증명했다.

• m > 2인 경우에 k(m)은 짝수이다.
• 임의의 짝수 정수 n > 2에 대해서, k(m) = n인 m이 항상 존재한다.
• k(m) ≤ m2 - 1
• k(2n) = 3×2(n-1)
• k(5n) = 4×5n
• k(2×5n) = 6n
• n > 2라면, k(10n) = 15×10(n-1)

m이 주어졌을 때, k(m)을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 P (1 ≤ P ≤ 1000)가 주어진다. 각 테스트 케이스는 N과 M으로 이루어져 있다. N은 테스트 케이스의 번호이고, M은 문제에서 설명한 m이다. (2 ≤ M ≤ 1,000,000)

출력

각 테스트 케이스마다 테스트 케이스 번호를 출력하고 k(M)을 출력한다.

예제 입력 1

1
2
3
4
5
6

5
1 4
2 5
3 11
4 123456
5 987654

예제 출력 1

1
2
3
4
5

1 6
2 20
3 10
4 15456
5 332808

힌트

출처

• 

  ICPC > Regionals > North America > Greater New York Region > 2013 Greater New York Programming Contest D번

  • 문제를 번역한 사람: baekjoon

알고리즘 분류

• 수학

링크

• ACM-ICPC Live Archive

풀이

소스코드

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31
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33

import sys

input = sys.stdin.readline

N = int(input())


def fibo(n):
    if len(fibo_list) > n:
        return fibo_list[n]
    else:
        fibo_list[n] = (fibo(n - 1) + fibo(n - 2)) % mod
        return fibo_list[n]


def cycle():
    x = 1
    while True:
        if fibo_list[x] == 0 and fibo_list[x - 1] == 1:
            return x
        x += 1
        fibo(x)


for _ in range(N):
    fibo_list = dict()
    fibo_list[0] = 0
    fibo_list[1] = 1
    fibo_list[2] = 1
    idx, mod = map(int, input().split())

    print(idx, cycle())

출처: [백준] 1003번 피보나치 함수

문제

다음 소스는 N번째 피보나치 수를 구하는 C++ 함수이다.

1

int` `fibonacci(``int` `n) {``  ``if` `(n == 0) {``    ``printf``(``"0"``);``    ``return` `0;``  ``} ``else` `if` `(n == 1) {``    ``printf``(``"1"``);``    ``return` `1;``  ``} ``else` `{``    ``return` `fibonacci(n‐1) + fibonacci(n‐2);``  ``}``}

fibonacci(3)을 호출하면 다음과 같은 일이 일어난다.

• fibonacci(3)은 fibonacci(2)와 fibonacci(1) (첫 번째 호출)을 호출한다.
• fibonacci(2)는 fibonacci(1) (두 번째 호출)과 fibonacci(0)을 호출한다.
• 두 번째 호출한 fibonacci(1)은 1을 출력하고 1을 리턴한다.
• fibonacci(0)은 0을 출력하고, 0을 리턴한다.
• fibonacci(2)는 fibonacci(1)과 fibonacci(0)의 결과를 얻고, 1을 리턴한다.
• 첫 번째 호출한 fibonacci(1)은 1을 출력하고, 1을 리턴한다.
• fibonacci(3)은 fibonacci(2)와 fibonacci(1)의 결과를 얻고, 2를 리턴한다.

1은 2번 출력되고, 0은 1번 출력된다. N이 주어졌을 때, fibonacci(N)을 호출했을 때, 0과 1이 각각 몇 번 출력되는지 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다.

각 테스트 케이스는 한 줄로 이루어져 있고, N이 주어진다. N은 40보다 작거나 같은 자연수 또는 0이다.

출력

각 테스트 케이스마다 0이 출력되는 횟수와 1이 출력되는 횟수를 공백으로 구분해서 출력한다.

예제 입력 1

1
2
3
4

3
0
1
3

예제 출력 1

1
2
3

1 0
0 1
1 2

힌트

출처

• 문제를 번역한 사람: baekjoon
• 어색한 표현을 찾은 사람: cyj101366
• 데이터를 추가한 사람: doju, wonrok97

알고리즘 분류

• 다이나믹 프로그래밍

풀이

소스코드

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import sys

input = sys.stdin.readline
t = int(input())

cnt0 = [1, 0]
cnt1 = [0, 1]

for i in range(2, 41):
    cnt0.append(cnt0[i - 1] + cnt0[i - 2])
    cnt1.append(cnt1[i - 1] + cnt1[i - 2])

for _ in range(t):
    n = int(input())
    print(f"{cnt0[n]} {cnt1[n]}")

출처: [백준] 11444번 피보나치 수6

문제

피보나치 수는 0과 1로 시작한다. 0번째 피보나치 수는 0이고, 1번째 피보나치 수는 1이다. 그 다음 2번째 부터는 바로 앞 두 피보나치 수의 합이 된다.

이를 식으로 써보면 Fn = Fn-1 + Fn-2 (n ≥ 2)가 된다.

n=17일때 까지 피보나치 수를 써보면 다음과 같다.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597

n이 주어졌을 때, n번째 피보나치 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 n이 주어진다. n은 1,000,000,000,000,000,000보다 작거나 같은 자연수이다.

출력

첫째 줄에 n번째 피보나치 수를 1,000,000,007으로 나눈 나머지를 출력한다.

예제 입력 1

1

1000

예제 출력 1

1

517691607

힌트

• 피보나치 수를 구하는 여러가지 방법
• 
• 

출처

• 문제를 만든 사람: baekjoon

알고리즘 분류

• 수학
• 분할 정복을 이용한 거듭제곱

풀이

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import sys

input = sys.stdin.readline

N = int(input())
mod = 1000000007
fibo = {}


def fibo_dp(n):
    if n <= 1:
        return n
    elif fibo.get(n):
        return fibo[n]
    else:
        if n % 2 == 1:  # 홀수
            m = (n + 1) // 2
            temp1 = fibo_dp(m)
            temp2 = fibo_dp(m - 1)
            fibo[n] = temp1 ** 2 + temp2 ** 2
            fibo[n] %= mod
            return fibo[n]
        else:  # 짝수
            m = n // 2
            temp1 = fibo_dp(m - 1)
            temp2 = fibo_dp(m)
            fibo[n] = (2 * temp1 + temp2) * temp2
            fibo[n] %= mod
            return fibo[n]


print(fibo_dp(N))

출처: [백준] 10870번 피보나치 수5

문제

피보나치 수는 0과 1로 시작한다. 0번째 피보나치 수는 0이고, 1번째 피보나치 수는 1이다. 그 다음 2번째 부터는 바로 앞 두 피보나치 수의 합이 된다.

이를 식으로 써보면 Fn = Fn-1 + Fn-2 (n ≥ 2)가 된다.

n=17일때 까지 피보나치 수를 써보면 다음과 같다.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597

n이 주어졌을 때, n번째 피보나치 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 n이 주어진다. n은 20보다 작거나 같은 자연수 또는 0이다.

출력

첫째 줄에 n번째 피보나치 수를 출력한다.

예제 입력 1

1

10

예제 출력 1

1

55

힌트

출처

• 문제를 만든 사람: baekjoon

알고리즘 분류

• 수학
• 다이나믹 프로그래밍

비슷한 문제

• 2747번. 피보나치 수
• 2748번. 피보나치 수 2
• 2749번. 피보나치 수 3
• 10826번. 피보나치 수 4

풀이

소스코드 1 (재귀를 이용한 다이나믹 프로그래밍)

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import sys

input = sys.stdin.readline

n = int(input())

fibo_memo = [-1] * 99


def fibo_dynamic(n):
    if 0 < n <= 2:
        return 1
    elif n == 0:
        return 0
    if fibo_memo[n] != -1:
        return fibo_memo[n]
    fibo_memo[n] = fibo_dynamic(n - 1) + fibo_dynamic(n - 2)
    return fibo_memo[n]


print(fibo_dynamic(n))

출처: [백준] 10826번 피보나치 수4

문제

피보나치 수는 0과 1로 시작한다. 0번째 피보나치 수는 0이고, 1번째 피보나치 수는 1이다. 그 다음 2번째 부터는 바로 앞 두 피보나치 수의 합이 된다.

이를 식으로 써보면 Fn = Fn-1 + Fn-2 (n ≥ 2)가 된다.

n=17일때 까지 피보나치 수를 써보면 다음과 같다.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597

n이 주어졌을 때, n번째 피보나치 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 n이 주어진다. n은 10,000보다 작거나 같은 자연수 또는 0이다.

출력

첫째 줄에 n번째 피보나치 수를 출력한다.

예제 입력 1

1

10

예제 출력 1

1

55

힌트

출처

• 문제를 만든 사람: baekjoon

알고리즘 분류

• 다이나믹 프로그래밍
• 임의 정밀도 / 큰 수 연산

비슷한 문제

• 2747번. 피보나치 수
• 2748번. 피보나치 수 2
• 2749번. 피보나치 수 3
• 10870번. 피보나치 수 5

풀이

소스코드 1 (반복문을 이용한 다이나믹 프로그래밍)

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import sys

input = sys.stdin.readline
fibo = [-1] * 10001
fibo[0] = 0
fibo[1] = 1

N = int(input())

for i in range(2, N + 1):
    fibo[i] = fibo[i - 1] + fibo[i - 2]

print(fibo[N])

출처: [백준] 2749번 피보나치 수3

문제

피보나치 수는 0과 1로 시작한다. 0번째 피보나치 수는 0이고, 1번째 피보나치 수는 1이다. 그 다음 2번째 부터는 바로 앞 두 피보나치 수의 합이 된다.

이를 식으로 써보면 Fn = Fn-1 + Fn-2 (n ≥ 2)가 된다.

n=17일때 까지 피보나치 수를 써보면 다음과 같다.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597

n이 주어졌을 때, n번째 피보나치 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 n이 주어진다. n은 1,000,000,000,000,000,000보다 작거나 같은 자연수이다.

출력

첫째 줄에 n번째 피보나치 수를 1,000,000으로 나눈 나머지를 출력한다.

예제 입력 1

1

1000

예제 출력 1

1

228875

힌트

• 피사노 주기

출처

• 문제를 만든 사람: baekjoon

알고리즘 분류

• 수학
• 분할 정복을 이용한 거듭제곱

비슷한 문제

• 2747번. 피보나치 수
• 2748번. 피보나치 수 2
• 10826번. 피보나치 수 4
• 10870번. 피보나치 수 5

풀이

소스코드 1 (반복문을 이용한 다이나믹 프로그래밍)

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import sys

input = sys.stdin.readline

mod = 1000000
p = int(mod / 10 * 15)  # 피사노주기에 의해 M = 10^k 일 때, k > 2 라면, 주기는 항상 15 × 10^(k-1) 입니다
fibo = [0] * p
fibo[1] = 1

N = int(input())

for i in range(2, p):
    fibo[i] = fibo[i - 1] + fibo[i - 2]
    fibo[i] %= mod

print(fibo[N % p])

출처: [백준] 2748번 피보나치 수2

문제

피보나치 수는 0과 1로 시작한다. 0번째 피보나치 수는 0이고, 1번째 피보나치 수는 1이다. 그 다음 2번째 부터는 바로 앞 두 피보나치 수의 합이 된다.

이를 식으로 써보면 Fn = Fn-1 + Fn-2 (n ≥ 2)가 된다.

n=17일때 까지 피보나치 수를 써보면 다음과 같다.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597

n이 주어졌을 때, n번째 피보나치 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 n이 주어진다. n은 90보다 작거나 같은 자연수이다.

출력

첫째 줄에 n번째 피보나치 수를 출력한다.

예제 입력 1

1

10

예제 출력 1

1

55

힌트

출처

알고리즘 분류

• 수학
• 다이나믹 프로그래밍

비슷한 문제

• 2747번. 피보나치 수
• 2749번. 피보나치 수 3
• 10826번. 피보나치 수 4
• 10870번. 피보나치 수 5

풀이

소스코드 1 (반복문을 이용한 다이나믹 프로그래밍)

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import sys

input = sys.stdin.readline
fibo = [-1] * 100
fibo[0] = 0
fibo[1] = 1

N = int(input())

for i in range(2, N + 1):
    fibo[i] = fibo[i - 1] + fibo[i - 2]

print(fibo[N])

소스코드 2 (재귀를 이용한 다이나믹 프로그래밍)

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import sys

input = sys.stdin.readline

n = int(input())

fibo_memo = [-1] * 99


def fibo_dynamic(n):
    if n <= 2:
        return 1
    if fibo_memo[n] != -1:
        return fibo_memo[n]
    fibo_memo[n] = fibo_dynamic(n - 1) + fibo_dynamic(n - 2)
    return fibo_memo[n]

print(fibo_dynamic(n))

출처: [백준] 2747번 피보나치 수

문제

피보나치 수는 0과 1로 시작한다. 0번째 피보나치 수는 0이고, 1번째 피보나치 수는 1이다. 그 다음 2번째 부터는 바로 앞 두 피보나치 수의 합이 된다.

이를 식으로 써보면 Fn = Fn-1 + Fn-2 (n ≥ 2)가 된다.

n=17일때 까지 피보나치 수를 써보면 다음과 같다.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597

n이 주어졌을 때, n번째 피보나치 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 n이 주어진다. n은 45보다 작거나 같은 자연수이다.

출력

첫째 줄에 n번째 피보나치 수를 출력한다.

예제 입력 1

1

10

예제 출력 1

1

55

힌트

출처

알고리즘 분류

• 수학
• 구현

비슷한 문제

• 2748번. 피보나치 수 2
• 2749번. 피보나치 수 3
• 10826번. 피보나치 수 4
• 10870번. 피보나치 수 5

풀이

소스코드 1 (반복문을 이용한 다이나믹 프로그래밍)

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import sys

input = sys.stdin.readline
fibo = [-1] * 100
fibo[0] = 0
fibo[1] = 1

N = int(input())

for i in range(2, N + 1):
    fibo[i] = fibo[i - 1] + fibo[i - 2]

print(fibo[N])

소스코드 2 (재귀를 이용한 다이나믹 프로그래밍)

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import sys

input = sys.stdin.readline
fibo = [-1] * 99


def fibo_dp(n):
    if n <= 1:
        return n
    elif fibo[n] != -1:
        return fibo[n]
    else:
        fibo[n] = fibo_dp(n - 1) + fibo_dp(n - 2)
    return fibo[n]


N = int(input())
print(fibo_dp(N))

출처: [백준] 2740번 행렬곱셈

문제

크기가 N x N인 행렬 A가 주어진다. 이때, A의 B제곱을 구하는 프로그램을 작성하시오. 수가 매우 커질 수 있으니, A^B의 각 원소를 1,000으로 나눈 나머지를 출력한다.

입력

첫째 줄에 행렬의 크기 N과 B가 주어진다. (2 ≤ N ≤ 5, 1 ≤ B ≤ 100,000,000,000)

둘째 줄부터 N개의 줄에 행렬의 각 원소가 주어진다. 행렬의 각 원소는 1,000보다 작거나 같은 자연수 또는 0이다.

출력

첫째 줄부터 N개의 줄에 걸쳐 행렬 A를 B제곱한 결과를 출력한다.

예제 입력 1

1
2
3

2 5
1 2
3 4

예제 출력 1

1
2

69 558
337 406

예제 입력 2

1
2
3
4

3 3
1 2 3
4 5 6
7 8 9

예제 출력 2

1
2
3

468 576 684
62 305 548
656 34 412

예제 입력 3

1
2
3
4
5
6

5 10
1 0 0 0 1
1 0 0 0 1
1 0 0 0 1
1 0 0 0 1
1 0 0 0 1

예제 출력 3

1
2
3
4
5

512 0 0 0 512
512 0 0 0 512
512 0 0 0 512
512 0 0 0 512
512 0 0 0 512

힌트

출처

• 문제를 만든 사람: baekjoon
• 데이터를 추가한 사람: doju
• 잘못된 조건을 찾은 사람: dreammusic23

알고리즘 분류

• 수학
• 분할 정복
• 분할 정복을 이용한 거듭제곱
• 선형대수학

시간 제한

풀이

소스코드

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import sys

input = sys.stdin.readline

N, B = map(int, input().split())
matrix = [list(map(int, input().split())) for _ in range(N)]


def matrix_multiple(a, b):
    if b == 1:
        for i in range(N):
            for j in range(N):
                a[i][j] %= 1000
        return a
    else:
        if b % 2 == 0:  # 제곱수가 짝수일 때 AAAAAA --> (A^2)^2^2
            temp_matrix = [[0 for _ in range(N)] for _ in range(N)]
            c = matrix_multiple(a, b // 2)
            for i in range(N):
                for j in range(N):
                    for k in range(N):
                        temp_matrix[i][j] += c[i][k] * c[k][j]
                    temp_matrix[i][j] %= 1000
            return temp_matrix

        else:  # AAAAA --> (A^2)^2 * A
            temp_matrix = [[0 for _ in range(N)] for _ in range(N)]
            c = matrix_multiple(a, b - 1)
            for i in range(N):
                for j in range(N):
                    for k in range(N):
                        temp_matrix[i][j] += c[i][k] * a[k][j]
                    temp_matrix[i][j] %= 1000
            return temp_matrix


result = matrix_multiple(matrix, B)
for row in result:
    for value in row:
        print(value, end=" ")
    print()

출처: [백준] 2740번 행렬곱셈

문제

N x M크기의 행렬 A와 M x K크기의 행렬 B가 주어졌을 때, 두 행렬을 곱하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 행렬 A의 크기 N 과 M이 주어진다. 둘째 줄부터 N개의 줄에 행렬 A의 원소 M개가 순서대로 주어진다. 그 다음 줄에는 행렬 B의 크기 M과 K가 주어진다. 이어서 M개의 줄에 행렬 B의 원소 K개가 차례대로 주어진다. N과 M, 그리고 K는 100보다 작거나 같고, 행렬의 원소는 절댓값이 100보다 작거나 같은 정수이다.

출력

첫째 줄부터 N개의 줄에 행렬 A와 B를 곱한 행렬을 출력한다. 행렬의 각 원소는 공백으로 구분한다.

예제 입력 1

1
2
3
4
5
6
7

3 2
1 2
3 4
5 6
2 3
-1 -2 0
0 0 3

예제 출력 1

1
2
3

-1 -2 6
-3 -6 12
-5 -10 18

힌트

출처

• 잘못된 조건을 찾은 사람: bupjae
• 문제의 오타를 찾은 사람: ekdns7952
• 잘못된 데이터를 찾은 사람: WeissBlume

알고리즘 분류

• 수학
• 구현

시간 제한

풀이

소스코드

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import sys

input = sys.stdin.readline

N, M = map(int, input().split())
A_matrix = [list(map(int, input().split())) for _ in range(N)]

M, K = map(int, input().split())
B_matrix = [list(map(int, input().split())) for _ in range(M)]

result_matrix = [[0 for _ in range(K)] for _ in range(N)]

for n in range(N):
    for k in range(K):
        for m in range(M):
            result_matrix[n][k] += A_matrix[n][m] * B_matrix[m][k]

for row in result_matrix:
    for value in row:
        print(value, end=" ")
    print()